“莫比乌斯带”(Möbius strip)之谜被破解

公元1858年,两位德国数学家莫比乌斯和Johann Benedict Listing分别发现,一个扭转180度后再两头粘接起来的纸条,具有魔术般的性质。与普通纸带具有两个面(双侧曲面)不同, 这样的纸带只有一个面(单侧曲面),一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘!这一神奇的单面纸带被称为“莫比乌斯带”(Möbius strip)。

作为一种典型的拓扑图形,莫比乌斯带引起了许多科学家的研究兴趣,并在生活和生产中有了一些应用。例如,动力机械的皮带就可以做 成“莫比乌斯带”状,这样皮带就不会只磨损一面了。此外,莫比乌斯带也是艺术家眼中的经典造型。

科学家认为,当具有可展表面(developable surface)的莫比乌斯带被折成之后,它要尽力达到具有最小弹性能量的状态。从20世纪30年代开始,一个关于莫比乌斯带的 力学问题就始终困扰着科学家,即如何预测它的三维空间结构。

在新的研究中,来自英国伦敦大学学院的非线性动力学家Gert van der Heijden和Eugene Starostin利用一组20年未发表的数学等式,解开了这一长达75年的难题。相关论文7月15日在线发表于《自然—材料学 》(Nature Materials)上。

他们认为,决定莫比乌斯带空间形状的是不同区域的“能量密度”(energy density)。由折叠所形成的弹性势量存储在莫比乌斯带中,莫比乌斯带中卷曲最剧烈的地方具有最高的能量密度,而平坦的地方 能量密度最低。

根据他们的数学等式,莫比乌斯带的形状有赖于带子的长和宽。如果莫比乌斯带的宽度和长度的比例增加,那么各个位置的能量密度也会 相应改变,从而改变莫比乌斯带的三维形状。

新的研究成果不仅仅揭示了一个现象,对材料学、药物开发等许多领域也具有重要意义。Starostin表示,它将有助于科学家理 解一些生物分子和化学薄膜的结构。瑞士联邦技术研究所的数学家John Maddocks评价说,“研究中使用的等式可适用于任何扭曲的矩形条带,包括碳纳米管。”

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